壊れたかも？と投稿したのが5月22日。その後いろいろサポートとやり取りを行い
、なんとか交換することができました。その際、「交換しても同じ現象が再現するかもしれません」と言われていたのですが、代替品到着の翌日に現実のものとなりました。

現象は全く同じで、しばらく放置していたあと使おうとしても、ネットワークに接続されていないと言って使えなくなります。電源ケーブルを抜き差しして再起動させてあげれば復活するので、サーバー側はおそらく問題なく端末側の問題であろうことは想像できます。たぶん前回自動更新されたであろうファームウェアの不具合で、放置しておくとネットに接続できなくなってしまうのだと思います。

Googleさんがファームウェアの更新をして配信していただけないと直らない不具合だと思うので、定期的に電源ケーブルを抜き差ししてWi-Fiに接続させ、いつ来るかわからないアップデートを待つしか解決策はなさそうです。